algebraische Funktion

algebraische Funktion,

 

jede analytische Funktion w = f (z₁, z₂,.. ., z_n) einer oder mehrerer (komplexwertiger) Variablen z_i (i = 1, 2,.. ., n), die einer algebraischen Gleichung F (z₁, z₂,.. ., z_n, w) genügt, wobei F ein Polynom der Variablen z_i und w ist. Im Fall einer Variablen z kann eine algebraische Funktion w = f (z) meist nur implizit durch eine algebraische Gleichung der Form

 

dargestellt oder definiert werden, worin p₀ (z), p₁ (z),.. . p_k(z) Polynome oder rationale Funktionen der Variablen z sind. Diese Gleichung legt eine im Allgemeinen mehrblättrige riemannsche Fläche, für reelle z eine ebene algebraische Kurve fest.

 

Beispiele für algebraische Funktionen sind die rationalen Funktionen, die Wurzelfunktionen und allgemein alle reellen Funktionen, die durch Addition, Multiplikation und Verkettung sowie die zugehörigen Umkehroperationen aus der reellen Variablen x und Konstanten aufgebaut werden können. Nichtalgebraisch ist die Betragsfunktion w = |x |, die zwar der Gleichung w² — x² = 0 genügt, aber an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar und daher nicht analytisch ist. Nichtalgebraische analytische Funktionen werden als transzendente Funktionen bezeichnet, z. B. die Exponentialfunktion und die Winkelfunktionen.

 

Literatur:

 

M. Eichler: Einf. in die Theorie der algebraischen Zahlen u. Funktionen (1963);

 S. Lang: Introduction to algebraic and abelian functions (²1982).